Question

6．如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD，AB于E，F(xiàn)兩點．垂足為Q，過點E作EH⊥AB于點H．
（1）求證：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)EQ⊥BP，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根據(jù)∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出BP的長，根據(jù)EF是BP的垂直平分線可知BQ=$\frac{1}{2}$BP，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4$\sqrt{10}$，再根據(jù)EQ=EF-QF即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵EQ⊥BP，EH⊥AB，
∴∠EQN=∠BHM=90°．
∵∠EMQ=∠BMH，
∴△EMQ∽△BMH，
∴∠QEM=∠HBM．
在Rt△APB與Rt△HFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAB=∠FHE}\\{AB=EH}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△HFE，
∴HF=AP；
（2）解：由勾股定理得，BP=$\sqrt{16+144}$4$\sqrt{10}$．
∵EF是BP的垂直平分線，
∴BQ=$\frac{1}{2}$BP=2$\sqrt{10}$，
∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2$\sqrt{10}$×$\frac{4}{12}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．
由（1）知，△APB≌△HFE，
∴EF=BP=4$\sqrt{10}$，
∴EQ=EF-QF=4$\sqrt{10}$-$\frac{2\sqrt{10}}{3}$=$\frac{10\sqrt{10}}{3}$．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．