Question

【題目】在數(shù)列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p為常數(shù)），則稱{an}為“等方差數(shù)列”，下列是對“等方差數(shù)列“的判斷：

①若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等差數(shù)列；

②{（﹣1）n}是等方差數(shù)列；

③若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}（k∈N*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；

④若{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列．

其中正確命題的個數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用等方差數(shù)列的定義與等差數(shù)列的定義判斷①；利用等方差數(shù)列的定義判斷②；先表示出{akn}的通項公式，然后利用等方差的定義進行判斷③；利用等方差數(shù)列和等差數(shù)列的定義判斷④．

①若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則有p（n∈N*，且n≥2），

則數(shù)列{}是公差為p的等差數(shù)列，故①正確；

②數(shù)列{（﹣1）n}中，an2﹣an﹣12＝[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n﹣1]2＝0，（n≥2，n∈N*），

∴數(shù)列{（﹣1）n}是等方差數(shù)列，故②正確；

③數(shù)列{an}中的項列舉出來是：a1，a2，…，ak，…，a2k，…

數(shù)列{akn}中的項列舉出來是：ak，a2k，a3k，…

∵（ak+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p

∴（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp

∴ak（n+1）2﹣akn2＝kp，即數(shù)列{akn}是等方差數(shù)列，故③正確；

④∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴an﹣an﹣1＝d1（n≥2）．

∵數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，∴an2﹣an﹣12＝d2（n≥2），

∴（an+an﹣1）d1＝d2，

∴當d1≠0時，為常數(shù)列；

當d1＝0，數(shù)列{an}為常數(shù)列．

則該數(shù)列{an}必為常數(shù)列，故④正確．

∴正確命題的個數(shù)是4個．

故選：D．

本題考查新定義以及等差數(shù)列的定義及其應用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，是中檔題．