【題目】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)為F且斜率為k的直線l交曲線C于、兩點(diǎn),交圓于M,N兩點(diǎn)(A,M兩點(diǎn)相鄰).
(1)求證:為定值;
(2)過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作曲線C的切線,,兩切線交于點(diǎn)P,求與面積之積的最小值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)1
【解析】
(1)依題意直線的方程為,代入得,利用韋達(dá)定理即可得證;
(2)利用導(dǎo)數(shù)寫出拋物線在點(diǎn)、處的切線方程,聯(lián)立兩條切線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo),并求出和的面積的表達(dá)式,結(jié)合函數(shù)思想可求出兩三角形面積之積的最小值.
解:(1)
依題意直線的方程為,代入得,
,則
,.
∴為定值
(2)因?yàn)?/span>,所以,
則切線PA方程為 ①
PB方程為 ②
②—①得, ③,
將③代入①得,所以
P到直線AB的距離
,,
,
因?yàn)?/span>,,
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)倉(cāng)儲(chǔ)指數(shù)是反映倉(cāng)儲(chǔ)行業(yè)經(jīng)營(yíng)和國(guó)內(nèi)市場(chǎng)主要商品供求狀況與變化趨勢(shì)的一套指數(shù)體系.如圖所示的折線圖是2017年和2018年的中國(guó)倉(cāng)儲(chǔ)指數(shù)走勢(shì)情況.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論中不正確的是( )
A. 2018年1月至4月的倉(cāng)儲(chǔ)指數(shù)比2017年同期波動(dòng)性更大
B. 2017年、2018年的最大倉(cāng)儲(chǔ)指數(shù)都出現(xiàn)在4月份
C. 2018年全年倉(cāng)儲(chǔ)指數(shù)平均值明顯低于2017年
D. 2018年各月倉(cāng)儲(chǔ)指數(shù)的中位數(shù)與2017年各月倉(cāng)儲(chǔ)指數(shù)中位數(shù)差異明顯
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,為等邊三角形,邊長(zhǎng)為2,為等腰直角三角形,,,,平面平面ABCD.
(1)證明:平面PAD;
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值;
(3)棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使得平面PBC?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(為自然對(duì)數(shù)的底)。
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在均屬于區(qū)間的,,且,使,證明:;
(Ⅲ)對(duì)于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),若存在常數(shù),,使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的分界線。試探究當(dāng)時(shí),函數(shù)與是否存在“分界線”?若存在,請(qǐng)給予證明,并求出,的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】西湖小學(xué)為了豐富學(xué)生的課余生活開設(shè)課后少年宮活動(dòng),其中面向二年級(jí)的學(xué)生共開設(shè)了三門課外活動(dòng)課:七巧板、健美操、剪紙.203班有包括奔奔、果果在內(nèi)的5位同學(xué)報(bào)名參加了少年宮活動(dòng),每位同學(xué)只能挑選一門課外活動(dòng)課,已知每門課都有人選,則奔奔和果果選擇了同一個(gè)課外活動(dòng)課的選課方法種數(shù)為( )
A.18B.36C.72D.144
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(a為常數(shù))的最大值為0.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),(),且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定點(diǎn),,直線、相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線。
(1)求曲線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn),使得直線與斜率之積為定值,若存在,求出坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年電商“雙十一”大戰(zhàn)即將開始.某電商為了盡快占領(lǐng)市場(chǎng),搶占今年“雙十一”的先機(jī),對(duì)成都地區(qū)年齡在15到75歲的人群“是否網(wǎng)上購(gòu)物”的情況進(jìn)行了調(diào)查,隨機(jī)抽取了100人,其年齡頻率分布表和使用網(wǎng)上購(gòu)物的人數(shù)如下所示:(年齡單位:歲)
年齡段 | ||||||
頻率 | 0.1 | 0.32 | 0.28 | 0.22 | 0.05 | 0.03 |
購(gòu)物人數(shù) | 8 | 28 | 24 | 12 | 2 | 1 |
(1)若以45歲為分界點(diǎn),根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“網(wǎng)上購(gòu)物”與年齡有關(guān)?
年齡低于45歲 | 年齡不低于45歲 | 總計(jì) | |
使用網(wǎng)上購(gòu)物 | |||
不使用網(wǎng)上購(gòu)物 | |||
總計(jì) |
(2)若從年齡在,的樣本中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談,記選中的4人中“使用網(wǎng)上購(gòu)物”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a∈R),以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ
(1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與曲線C交于AB兩點(diǎn),求|PA|+|PB|
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