Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，邊長為2，為等腰直角三角形，，，，平面平面ABCD.

(1)證明：平面PAD；

(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；

(3)棱PD上是否存在一點E，使得平面PBC？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）棱PD上存在一點E，使得平面PBC，且.

【解析】

（1）用面面垂直的性質定理證明線面垂直；

（2）取的中點，連接，得平面，以為軸，為軸，過平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，用平面的法向量的夾角求二面角；

（3）假設棱PD上存在一點E，使得平面PBC，設，由與平面的法向量垂直求得，如果求不出，說明不存在.

（1）∵平面平面ABCD，，平面平面ABCD，平面ABCD，∴平面；

（2）取的中點，連接，由于是等邊三角形，所以，由平面平面ABCD，得平面，，

以為軸，為軸，過平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

，，設平面的一個法向量為，

則，取，則，，，

平面的一個法向量為，

，

∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為；

（3）假設棱PD上存在一點E，使得平面PBC，設，

由（2），，

，又平面的一個法向量是，

∴，解得，∴.

∴棱PD上存在一點E，使得平面PBC，且.