Question

設P（a，b）是直線y=-x上的點，若對曲線y=

1

x

（x＞0）上的任意一點Q恒有|PQ|≥3，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設Q（x，

1

x

）（x＞0），由兩點的距離求出|PQ|，并化簡得到

(x- 1 x )2-2a(x- 1 x )+2a2+2

，令t=x-

1

x

，
則|PQ|=

t2-2at+2a2+2

，即可得到最小值為

a2+2

，由題意得，

a2+2

≥3，解出即可．

解答： 解：∵P（a，b）是直線y=-x上的點，∴b=-a．∴P（a，-a）．
設Q（x，

1

x

）（x＞0），則|PQ|=

(x-a)2+( 1 x +a)2

=

x2+ 1 x2 -2ax+ 2a x +2a2

=

(x- 1 x )2-2a(x- 1 x )+2a2+2

．
令t=x-

1

x

，則|PQ|=

t2-2at+2a2+2

，由于t′=1+

1

x2

＞0，則（0，+∞）為增區(qū)間，
t∈R，故當t=a時，|PQ|取最小值為

a2+2

，由題意得，

a2+2

≥3，解得a≥

7

或a≤-

7

．
故答案為：（-∞，-

7

]∪[

7

，+∞）．

點評：本題考查直線方程和雙曲線方程及運用，考查不等式恒成立問題，轉化為求函數的最值問題，屬于中檔題．