Question

設(shè)f（x）=lnx+

x

-1，證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜

3

2

（ x-1）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令g（x）=

3

2

（ x-1）-f（x）=

3

2

（ x-1）-lnx-

x

+1 （x＞1），則g'（x）=

3x-2- x

2x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜

3

2

（ x-1）．

解答： 解：令g（x）=

3

2

（ x-1）-f（x）=

3

2

（ x-1）-lnx-

x

+1 （x＞1）
則g'（x）=

3

2

-

1

x

-

1

2

•

1

x

=

3x-2- x

2x

，
由g'（x）=0，即3x-

x

-2=0得：

x

=1或

x

=-

2

3

（舍），
∴g'（x）=

( x + 2 3 )( x -1)

2x

，
∵x＞1
∴g'（x）＞0恒成立，
∴g（x）遞增
∴g（x）＞g（1）=0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜

3

2

（ x-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．