Question

過(guò)拋物線(xiàn)y²=2px焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作其準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為D，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)，是否存在實(shí)數(shù)向量

AO

=λ

OD

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：由拋物線(xiàn)方程得其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，按斜率存在和不存在討論，由直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程組成方程組，研究A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，求出和的坐標(biāo)，從而判斷λ是否存在．

解答： 解　假設(shè)存在實(shí)數(shù)λλ，使

AO

=λ

OD

；λ．拋物線(xiàn)方程為y²=2px，
則F（

p

2

，0）F準(zhǔn)線(xiàn)ll：xx=-

p

2

，
（1）當(dāng)直線(xiàn)ABAB的斜率不存在，即ABAB⊥xx軸時(shí)，
交點(diǎn)A（

p

2

，p）A、B（

p

2

，-p），D（-

p

2

，-p）；
B
∴

AO

=（-

p

2

，-p），

OD

=（-

p

2

，-p），
∴存在λλ=1，使

AO

=λ

OD

；
（2）當(dāng)直線(xiàn)ABAB的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線(xiàn)ABAB的方程為yy=k（x-

p

2

）k （kk≠0），
設(shè)AA（xx₁，yy₁），BB（xx₂，yy₂），則DD（-

p

2

，yy₂），xx₁=

y1

k

+

p

2

，xx₂=

y2

k

+

p

2

，
聯(lián)立方程消x得kyky²-2pypy-kpkp²=0，
∴yy₁yy₂=-pp²，∴yy₂=

-p2

y1

，
則

AO

=（-xx₁，-yy₁）=（-（

y1

k

+

p

2

），-yy₁）；

OD

=（-

p

2

，yy₂）=（-

p

2

，

-p2

y1

）；
假設(shè)存在實(shí)數(shù)λλ，使

AO

=λ

OD

；
則-（

y1

k

+

p

2

）=-λ

p

2

，-yy₁=λ

-p2

y1

，
化簡(jiǎn)得，kλ-2

λ

-k=0；
△=4+4k²＞0，
故λ一定存在；
綜上所述，存在實(shí)數(shù)λ，使向量

AO

=λ

OD

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道探索存在性問(wèn)題，應(yīng)先假設(shè)存在，設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，利用方程組和向量條件求出λ，屬于中檔題．