Question

【題目】已知圓的圓心在直線.

(1)若圓與軸的正半軸相切,且該圓截軸所得弦的長為,求圓的標準方程;

(2)在(1)的條件下,直線與圓交于兩點,,若以為直徑的圓過坐標原點,求實數(shù)的值;

(3)已知點,圓的半徑為3,且圓心在第一象限,若圓上存在點,使(為坐標原點),求圓心的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

（1）設出圓心坐標，根據(jù)圓與軸正半軸相切以及該圓截軸所得弦的長，求得圓的圓心和半徑，由此求得圓的方程.

（2）聯(lián)立直線的方程和圓的方程，寫出判別式和韋達定理，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)有，化簡此方程求得的值.

（3）設，根據(jù)求得的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為兩個圓有公共點的問題來求解出圓心的縱坐標的取值范圍.

(1)因為圓的圓心在直線上,所以可設圓心為.

因為圓與軸的正半軸相切,所以,半徑.

又因為該圓截軸所得弦的長為,

所以,解得.

因此,圓心為,半徑.

所以圓的標準方程為.

(2)由消去,得.

整理得. (★)

由,得, (※)

設,,則,,

因為以為直徑的圓過原點,可知,的斜率都存在,且,

整理得,即.

化簡得,即.

整理得.解得.

當時,,. ③

由③,得,從而,

可見,時滿足不等式(※).均符合要求.

(3)圓的半徑為3,設圓的圓心為,

由題意,,則圓的方程為.

又因為,,

設點的坐標為,則,

整理得.

它表示以為圓心,2為半徑的圓,記為圓.

由題意可知,點既在圓上又在圓上,即圓和圓有公共點.

所以,且.

即,且.

所以,即,解得.

所以圓心的縱坐標的取值范圍是.