Question

18．已知函數(shù)y=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}}$）
（1）求它的最小正周期
（2）求它的最大最小值及對應(yīng)的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角和差的正余弦公式及輔助角公式將函數(shù)化簡求得y=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），根據(jù)周期公式即可求得最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的取值范圍，求出最值，以及自變量的取值集合．

解答 解：（1）y=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}}$）
=sin$\frac{π}{3}$cos4x+cos$\frac{π}{3}$sin4x+cos4xcos$\frac{π}{6}}$+sin4xsin$\frac{π}{6}}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x，
=sin4x+$\sqrt{3}$cos4x，
=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
由T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∴最小正周期$\frac{π}{2}$；
（2）當4x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時，函數(shù)取最大值，最大值為2，
即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$時，取最大值為2，
當4x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z時，函數(shù)取最小值，最小值為-2，
即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{7π}{24}$時，取最小值為-2．
∴{x丨x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z}時，函數(shù)取最大值為2，{x丨x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{7π}{24}$，k∈Z}，函數(shù)取最小值為-2．

點評 本題考查三角恒等變換，考查兩角和差的正余弦公式及輔助角公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，屬于中檔題．