Question

如圖，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為平行四邊形，其中AB＝， BD＝BC＝1， AA₁＝2，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱DD₁上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求異面直線AD₁與BE所成角的正切值；
(2)當(dāng)DF為何值時(shí)，EF與BC₁所成的角為90°？

Answer 1

(1)3；（2）

試題分析：（1）求異面直線所成的角，應(yīng)該先找后求，異面直線所成的角是指將兩條異面直線經(jīng)過(guò)平行移動(dòng)后，移到相交位置時(shí)，所成的銳角或直角，故平移直線是找異面直線所成角的關(guān)鍵，通常平移辦法有中位線平移、平行四邊形平移、比例線段平移，找到所求的角后，然后借助平面圖形去求；（2）直線和直線 垂直，通常采取的辦法是，先證明線面垂直，進(jìn)而證明線線 垂直，而證明線面垂直，又需要兩個(gè)線線垂直關(guān)系，所以需從圖里盡可能挖掘隱藏的垂直關(guān)系.
試題解析：(1)連接₁.在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，∵,∥,∴四邊形是平行四邊形，所以∥,∴就是異面直線AD₁與BE所成角或者是其補(bǔ)角，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023615658611.png" style="vertical-align:middle;" />是邊的中點(diǎn)，所以,又在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，,∴面,所以,在Rt△BEC₁中，BE＝，EC₁＝，所以tan ∠EBC₁＝=3；
（2）當(dāng)DF＝時(shí)，EF與BC₁所成的角為9 0°，由(1)知，面，∴,∴當(dāng)時(shí)，面，從而，在矩形中，又DE＝EC＝，CC₁＝AA₁＝2.
當(dāng)DF=時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023616126802.png" style="vertical-align:middle;" />，,  所以△DEF∽△CC₁E，所以∠DEF＋∠CEC₁＝90°，
所以∠FEC₁＝90°，即FE⊥EC₁.又EB∩EC₁＝E，所以EF⊥平面BEC₁，
所以EF⊥BC₁，即EF與BC₁所成的角等于90°.