【題目】已知函數(shù)，.

(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

(2)證明:方程有且只有一個實數(shù)根.

【答案】(1) (2) 見解析

【解析】

（1）依題意,得恒成立,即在區(qū)間內(nèi)恒成立；

（2）方程有且只有一個實數(shù)根即證明函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點.令，研究其圖象變化趨勢即可.

(1)由題得,函數(shù)的定義域為

由，

得，

依題意,得恒成立,

所以在區(qū)間內(nèi)恒成立,

所以.

而 ,當且僅當,

即時，等號成立，

故，

因此實數(shù)的取值范圍為.

(2)令,即,

即 ，

也就是證明函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點.

由，

得

記 ,

所以

令 ，

當時, ,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

當時, ,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以當時, 有有極小值 ，

故，

因此在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

又因為當,且時, ,當時, ,

因此函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點,

故方程有且只有一個實數(shù)根.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且，（）.

（1）計算，，，，并求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）由數(shù)列的項組成一個新數(shù)列：，，，，，設為數(shù)列的前項和，試求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲乙兩人玩一種游戲，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.

（1）若以表示和為6的事件，求；

（2）現(xiàn)連玩三次，若以表示甲至少贏一次的事件，表示乙至少贏兩次的事件，試問與是否為互斥事件？為什么？

（3）這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）設，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當時，若存在正實數(shù)滿足，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某兒童玩具生產(chǎn)廠一車間計劃每天生產(chǎn)遙控小車模型、遙控飛機模型、遙控火車模型這三種玩具共個，生產(chǎn)一個遙控小車模型需分鐘，生產(chǎn)一個遙控飛機模型需分鐘，生產(chǎn)一個遙控火車模型需分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過分鐘，若生產(chǎn)一個遙控小車模型可獲利元，生產(chǎn)一個遙控飛機模型可獲利元，生產(chǎn)一個遙控火車模型可獲利元，該公司合理分配生產(chǎn)任務可使每天的利潤最大，則最大利潤是__________元

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設是由個有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個數(shù)組，記作：.其中稱為數(shù)組的“元”，為的下標.如果數(shù)組中的每個“元”都來自數(shù)組中不同下標的“元”則稱為的子數(shù)組.定義兩個數(shù)組，的關(guān)系數(shù)為.

（1）若，，設是的含有兩個“元”的子數(shù)組，求的最大值及此時的數(shù)組；

（2）若，，且，為的含有三個“元”的子數(shù)組，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其

上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)

0

1

2

3

4

保費

隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：

出險次數(shù)

0

1

2

3

4

頻數(shù)

60

50

30

30

20

10

（1）記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求的估計值；

（2）記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160％”.求的估計值；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有120粒試驗種子需要播種，現(xiàn)有兩種方案：方案一：將120粒種子分種在40個坑內(nèi)，每坑3粒；方案二：120粒種子分種在60個坑內(nèi)，每坑2粒 如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，并且，若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種（每個坑至多補種一次，且第二次補種的種子顆粒同第一次）.假定每個坑第一次播種需要2元，補種1個坑需1元；每個成活的坑可收貨100粒試驗種子，每粒試驗種子收益1元.

(1)用表示播種費用，分別求出兩種方案的的數(shù)學期望；

(2)用表示收益，分別求出兩種方案的收益的數(shù)學期望；

(3)如果在某塊試驗田對該種子進行試驗，你認為應該選擇哪種方案？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年4月20日，遼寧省人民政府公布了“”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化學、生物4門中選擇2門．“2”中記入高考總分的單科成績是由原始分轉(zhuǎn)化得到的等級分，學科高考原始分在全省的排名越靠前，等級分越高．小明同學是2018級的學生．已確定了必選地理且不選政治，為確定另選一科，小明收集并整理了生物與化學近10大聯(lián)考的成績百分比排名數(shù)據(jù)x（如的含義是指在該次考試中，成績高于小明的考生占參加該次考試的考生數(shù)的）繪制莖葉圖如下．

則由圖中數(shù)據(jù)生物學科聯(lián)考百分比排名的分位數(shù)為________．從平均數(shù)的角度來看你認為小明更應該選擇________．（填生物或化學）

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