Question

13．設(shè)函數(shù)$f（x）=sin（\frac{π}{4}x-\frac{π}{6}）-cos\frac{π}{4}$x．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈（0，4），求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用x的取值范圍求出$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$的取值范圍，從而得出sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$）的取值范圍，即是f（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}$）-cos$\frac{π}{4}$x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{3}{2}$cos$\frac{π}{4}$x
=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），…4分
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
則-$\frac{2}{3}$+8k≤x≤$\frac{10}{3}$+8k，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[-$\frac{2}{3}$+8k，$\frac{10}{3}$+8k]，k∈Z；…7分
（2）當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，0＜x＜4，
∴0＜$\frac{π}{4}$x＜π，
∴-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$）≤1；
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋海?$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．…14分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．