Question

3．遼寧號航母紀(jì)念章從2012年10月5日起開始上市．通過市場調(diào)查，得到該紀(jì)念章每1枚的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：

上市時間x天	4	10	36
市場價y元	90	51	90

已知遼寧號航母紀(jì)念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系是f（x）=ax²+bx+c．
（1）求遼寧號航母紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格；
（2）若對任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程f（x）=kx+2m+120在實數(shù)集上恒有兩個相異的實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中每1枚的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數(shù)據(jù)，代入f（x）=ax²+bx+c，構(gòu)造方程組，解方程組求出參數(shù)，可得函數(shù)的解析式，進而結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到遼寧號航母紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格；
（2）若方程f（x）=kx+2m+120恒有兩個相異的零點，則對應(yīng)的△＞0，由此構(gòu)造關(guān)于m的不等式，解不等式可得m的取值范圍．

解答 解：（1）把點（4，90），（10，51），（36，90）代入方程
得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=90}\\{100a+10b+c=51}\\{a•3{6}^{2}+36b+c=90}\end{array}\right.$，∴a=$\frac{1}{4}$，b=-10，c=126
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²-10x+126=$\frac{1}{4}$（x-20）²+26
∴當(dāng)x=20時，y有最小值，y_min=26．
故遼寧號航母紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)為20天，最低價格為26元…（6分）
（2）f（x）=$\frac{1}{4}$x²-10x+126，
又∵f（x）=kx+2m+120恒有兩個相異的實根，
則$\frac{1}{4}$x²-（k+10）x+6-2m=0恒有兩個相異的實根，
∴△₁=[-（k+10）]²-$4×\frac{1}{4}×（6-2m）$＞0恒成立，即k²+20k+2m+94＞0對k∈R恒成立，
∴△₂=20²-4（2m+94）＜0，解得m＞3．
故m的取值范圍為（3，+∞）．…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的零點，方程根的存在性及個數(shù)的判斷，難度中檔．