Question

【題目】已知函數(shù)（其中，）.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對于任意大于的正整數(shù)，都有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】【試題分析】(1)當(dāng)時,求出切點的坐標(biāo)和在切點處的斜率,利用點斜式寫出切線方程.(2)令導(dǎo)函數(shù)大于零,得到,即,當(dāng)時,所以.(3) 當(dāng)時，,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上遞增,令,得到,利用放縮法和累加法可證得原不等式成立.

【試題解析】

（1）∵，∴（）,

∴,∵,∴在點處的切線方程為.

（2）∵,∴（）,

∵在上為增函數(shù)，∴對任意恒成立.

∴對任意恒成立，

即對任意恒成立.∵時，，

∴，即所求正實數(shù)的取值范圍是.

（3）當(dāng)時，，

當(dāng)時，，故在上是增函數(shù).

當(dāng)時，令，則當(dāng)時，，所以

，所以

所以即

所以即對于任意大于 則正整數(shù) ，都有