Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上任意一點，且△PF₁F₂的周長是6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設圓T：（x-t）²+y²=$\frac{4}{9}$，過橢圓的上頂點M作圓T的兩條切線交橢圓于E、F兩點，當圓心在x軸上移動且t∈（0，1）時，求EF的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率得到a，c的關系，再由△PF₁F₂的周長是6，得a，c的另一關系，聯立求得a，c的值，代入隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）橢圓的上頂點為M（0，$\sqrt{3}$），設過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+$\sqrt{3}$，由圓心到切線距離等于半徑得到關于切線斜率的方程，由根與系數關系得到k₁+k₂=-$\frac{18\sqrt{3}t}{9{t}^{2}-4}$，k₁k₂=$\frac{23}{9{t}^{2}-4}$，再聯立一切線方程和橢圓方程，求得E的坐標，同理求得F坐標，另一兩點求斜率公式得到k_EF=$\frac{3（{k}_{1}+{k}_{2}）}{3-4{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{54\sqrt{3}t}{104-27{t}^{2}}$．然后由函數單調性求得EF的斜率的范圍．

解答 解：（1）由e=$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由△PF₁F₂的周長是6，
由橢圓的定義可得2a+2c=6，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）橢圓的上頂點為M（0，$\sqrt{3}$），
設過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+$\sqrt{3}$，
由直線y=kx+$\sqrt{3}$與T相切可知$\frac{|kt+\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
即（9t²-4）k²+18$\sqrt{3}$tk+23=0，
可得k₁+k₂=-$\frac{18\sqrt{3}t}{9{t}^{2}-4}$，k₁k₂=$\frac{23}{9{t}^{2}-4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+\sqrt{3}}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k₁²）x²+8$\sqrt{3}$k₁x=0．
解得x_E=-$\frac{8\sqrt{3}{k}_{1}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，
同理x_F=-$\frac{8\sqrt{3}{k}_{2}}{3+4{{k}_{2}}^{2}}$，
則k_EF=$\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{（{k}_{1}{x}_{E}+\sqrt{3}）-（{k}_{2}{x}_{F}+\sqrt{3}）}{{x}_{E}-{x}_{F}}$
=$\frac{{k}_{1}{x}_{E}-{k}_{2}{x}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{3（{k}_{1}+{k}_{2}）}{3-4{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{54\sqrt{3}t}{104-27{t}^{2}}$．
當0＜t＜1時，f（t）=$\frac{54\sqrt{3}t}{104-27{t}^{2}}$為增函數，
故EF的斜率的范圍為（0，$\frac{54\sqrt{3}}{77}$）．

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓，直線與橢圓的位置關系，直線與圓相切的條件，訓練了利用函數單調性求函數的最值，是中檔題．