【題目】已知在上任意一點處的切線為,若過右焦點的直線交橢圓于兩點,已知在點處切線相交于.
(Ⅰ)求點的軌跡方程;
(Ⅱ)①若過點且與直線垂直的直線(斜率存在且不為零)交橢圓于兩點,證明為定值.
②四邊形的面積是否有最小值,若有請求出最小值;若沒有請說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)①見解析;②.
【解析】
(Ⅰ)當(dāng)直線的斜率不存在時,可直接求出點,當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線:,,聯(lián)立,可得韋達(dá)定理,在根據(jù)題目直接求出切線方程,利用根于系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡消元,即可得點的軌跡方程;
(Ⅱ)①利用弦長公式可得,同理可得,進(jìn)而化簡計算即可;②變形可得,利用基本不等式可得最值.
(Ⅰ)由已知,
當(dāng)直線的斜率不存在,即直線:時,,
過點的切線為:,即⑴,
過點的切線為:,即⑵,
聯(lián)立⑴⑵解得;
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線:,,
聯(lián)立,消去得,
則,
過點的切線為:,⑶,
過點的切線為:,⑷,
⑶+⑷得,
,整理得⑸,
⑶-⑷得,
整理得,代入⑸的
整理得,因為,
則,即;
綜合得點的軌跡方程為:;
(Ⅱ)①由(Ⅰ)可得,
則,
同理,
,
即為定值;
②
,
因為,則,則,
則
當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,
所以四邊形的面積存在最小值,且為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)g(x)=sinωx(ω>0)向左平移個單位長度得到函數(shù)f(x),已知f(x)在[0,2π]上有且只有5個零點,則下列結(jié)論正確的是( )
A.f(x)的圖象關(guān)于直線對稱
B.f(x)在(0,2π)上有且只有3個極大值點,f(x)在(0,2π)上有且只有2個極小值點
C.f(x)在上單調(diào)遞增
D.ω的取值范圍是[)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提高生產(chǎn)線的運行效率,工廠對生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造.為了對比技術(shù)改造后的效果,采集了生產(chǎn)線的技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度(單位:天)數(shù)據(jù),并繪制了如莖葉圖:
(1)(i)設(shè)所采集的40個連續(xù)正常運行時間的中位數(shù)m,并將連續(xù)正常運行時間超過m和不超過m的次數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
超過 | 不超過 | |
改造前 | ||
改造后 |
(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)工廠的生產(chǎn)線的運行需要進(jìn)行維護(hù),工廠對生產(chǎn)線的生產(chǎn)維護(hù)費用包括正常維護(hù)費、保障維護(hù)費兩種.對生產(chǎn)線設(shè)定維護(hù)周期為T天(即從開工運行到第kT天進(jìn)行維護(hù).生產(chǎn)線在一個生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個維護(hù)周期,每個維護(hù)周期相互獨立.在一個維護(hù)周期內(nèi),若生產(chǎn)線能連續(xù)運行,則不會產(chǎn)生保障維護(hù)費;若生產(chǎn)線不能連續(xù)運行,則產(chǎn)生保障維護(hù)費.經(jīng)測算,正常維護(hù)費為0.5萬元/次;保障維護(hù)費第一次為0.2萬元/周期,此后每增加一次則保障維護(hù)費增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)線一個生產(chǎn)周期(以120天計)內(nèi)的維護(hù)方案:,.以生產(chǎn)線在技術(shù)改造后一個維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率,求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019新型冠狀病毒感染的肺炎的傳播有飛沫、氣溶膠、接觸等途徑,為了有效抗擊疫情,隔離性防護(hù)是一項具體有效措施.某市為有效防護(hù)疫情,宣傳居民盡可能不外出,鼓勵居民的生活必需品可在網(wǎng)上下單,商品由快遞業(yè)務(wù)公司統(tǒng)一配送(配送費由政府補(bǔ)貼).快遞業(yè)務(wù)主要由甲公司與乙公司兩家快遞公司承接:“快遞員”的工資是“底薪+送件提成”.這兩家公司對“快遞員”的日工資方案為:甲公司規(guī)定快遞員每天底薪為70元,每送件一次提成1元;乙公司規(guī)定快遞員每天底薪為120元,每日前83件沒有提成,超過83件部分每件提成5元,假設(shè)同一公司的快遞員每天送件數(shù)相同,現(xiàn)從這兩家公司往年忙季各隨機(jī)抽取一名快遞員并調(diào)取其100天的送件數(shù),得到如下條形圖:
(1)求乙公司的快遞員一日工資y(單位:元)與送件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系;
(2)若將頻率視為概率,回答下列問題:
①記甲公司的“快遞員”日工資為X(單位:元).求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②小王想到這兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞員”的工作,如果僅從日收入的角度考慮,請你利用所學(xué)過的統(tǒng)計學(xué)知識為他作出選擇,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】金剛石是碳原子的一種結(jié)構(gòu)晶體,屬于面心立方晶胞(晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元),即碳原子處在立方體的個頂點,個面的中心,此外在立方體的對角線的處也有個碳原子,如圖所示(綠色球),碳原子都以共價鍵結(jié)合,原子排列的基本規(guī)律是每一個碳原子的周圍都有個按照正四面體分布的碳原子.設(shè)金剛石晶胞的棱長為,則正四面體的棱長為__________;正四面體的外接球的體積是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)圖象在處的切線方程;
(2)若對任意,不等式恒成立,求的取值范圍;
(3)若存在極大值和極小值,且極大值小于極小值,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】英國統(tǒng)計學(xué)家E.H.辛普森1951年提出了著名的辛普森悖論,下面這個案例可以讓我們感受到這個悖論.有甲乙兩名法官,他們都在民事庭和行政庭主持審理案件,他們審理的部分案件被提出上訴.記錄這些被上述案件的終審結(jié)果如下表所示(單位:件):
法官甲 | 法官乙 | ||||||
終審結(jié)果 | 民事庭 | 行政庭 | 合計 | 終審結(jié)果 | 民事庭 | 行政庭 | 合計 |
維持 | 29 | 100 | 129 | 維持 | 90 | 20 | 110 |
推翻 | 3 | 18 | 21 | 推翻 | 10 | 5 | 15 |
合計 | 32 | 118 | 150 | 合計 | 100 | 25 | 125 |
記甲法官在民事庭、行政庭以及所有審理的案件被維持原判的比率分別為,和,記乙法官在民事庭、行政庭以及所有審理的案件被維持原判的比率分別為,和,則下面說法正確的是
A. ,,B. ,,
C. ,,D. ,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究,第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn),使得值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,,且,,,,,N為的中點.
(1)求證:平面
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值
(3)在線段上是否存在一點M,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的值;若不存在,說明理由
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