Question

4．用函數單調性的定義證明：函數$f（x）=\frac{x+1}{x-1}$在區(qū)間[2，6]上是減函數．

Answer 1

分析 根據函數單調性的定義：取值、作差、判符號、下結論，即可證明函數f（x）在區(qū)間[2，6]上的單調性．

解答 證明：∵f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，
∴任取x₁、x₂∈[2，6]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1+$\frac{2}{{x}_{1}-1}$）-（1+$\frac{2}{{x}_{2}-1}$）
=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$
=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$；
∵2≤x₁＜x₂≤6，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數f（x）在區(qū)間[2，6]上是減函數．

點評 本題考查了分離常數法化簡函數解析式以及根據函數的定義證明一個函數為減函數的應用問題，是基礎題目．