Question

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）對稱，且滿足f（x）+f（x-

3

2

）=0，f（-1）=3，f（0）=-6
（1）求證f（x）是以3為周期的函數(shù)；
（2）求證f（x）是偶函數(shù)；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題周期函數(shù)定義即可證明；
（2）利用圖象的對稱中心，得到f（x）=-f（

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2

-x），再根據(jù)f（x）+f（x-

3

2

）=0，即可證明；
（3）先求出f（-1）+f（0）+f（1）=0，看出所給的求函數(shù)值的式子中數(shù)字的個數(shù)除以3，余數(shù)是多少，看出結(jié)果．

解答： （1）證明：∵f（x）+f（x-

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）=0，
令x=x+

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2

，
∴f（x+

3

2

）+f（x）=0，
再令x=x+

3

2

，
∴f（x+3）+f（x+

3

2

）=0，
∴f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），
即f（x）是一個以3為周期的周期函數(shù)
（2）證明：∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）對稱，
∴f（x）=-f（

3

2

-x），又函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x-

3

2

）=0，
∴f（-

3

2

-x）=f（x+

3

2

），
即f（x）=f（-x）
故函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)
（3）解：∵f（-1）=3，f（0）=-6，
∴f（-1）=f（1）=3，
∴f（-1）+f（0）+f（1）=0．
又 2012=670×3+2，
故 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2012 ）=670×0+f（1）+f（2）=f（1）+f（-1）=2

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，奇偶函數(shù)圖象的對稱性，其中根據(jù)已知條件確定出函數(shù)的周期，及一個周期中各整數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值，是解答本題的關(guān)鍵．