Question

1．一艘船的燃料費(fèi)與船速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小時(shí)的燃料費(fèi)是80元，已知船航行時(shí)其他費(fèi)用為320元/時(shí)，在20km航程中，船速不得超過(guò)akm/h（a為常數(shù)且a＞0），船速多少時(shí)船行駛總費(fèi)用最少？

Answer 1

分析 設(shè)每小時(shí)燃料費(fèi)與航速平方的比例系數(shù)為k，由條件求得k，設(shè)航速為vkm/h時(shí)，總費(fèi)用為y元，求得$y=16v+\frac{6400}{v}（0＜v≤a）$，分類討論即可得到最小值．

解答 解：設(shè)每小時(shí)燃料費(fèi)與航速平方的比例系數(shù)為k，則80=k×10²，
解得k=0.8
設(shè)船速為vkm/h時(shí)，總費(fèi)用為y元，則：
y=（0.8v²+320）×$\frac{20}{v}$=16v+$\frac{6400}{v}$．
即$y=16v+\frac{6400}{v}（0＜v≤a）$
（1）當(dāng)a≤20時(shí)，函數(shù)在（0，a]上單調(diào)遞減，航速akm/h時(shí)船行駛總費(fèi)用最少；
（2）當(dāng)a＞20時(shí)，函數(shù)在（0，20]上單調(diào)遞減，[20，+∞）上單調(diào)遞增，航速20km/h時(shí)船行駛總費(fèi)用最少．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的應(yīng)用題，考查運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求最值，運(yùn)用基本不等式求最值，考查運(yùn)算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．