Question

11．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^x的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂且x₁＜x₂，x₁+x₂=-2-$\sqrt{5}$，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=kx+1
（1）求k，x₁，x₂的值；
（2）當(dāng)m≤-e時(shí)，求證：[f（x）+2e^x]•[（x-2）e^x-m+1]＞$\frac{3}{4}$e^x．

Answer 1

分析 （1）求得導(dǎo)數(shù)，由極值點(diǎn)的定義可得x₁，x₂為x²+（a+2）x+a=0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理和求根公式，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到所求值；
（2）運(yùn)用分析法證明，要證不等式成立，即證（x-2）e^x-m+1＞$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{5}x+2}$，主要求得左邊函數(shù)的最小值不小于右邊函數(shù)的最大值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的最值求法，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=（x²+（a+2）x+a）e^x，
由題意可得x₁，x₂為x²+（a+2）x+a=0的兩根，
x₁+x₂=-a-2=-2-$\sqrt{5}$，解得a=$\sqrt{5}$，
即有x₁x₂=$\sqrt{5}$，
解得x₁=$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為k=a=$\sqrt{5}$，
綜上可得，k=$\sqrt{5}$，x₁=$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；
（2）證明：要證[f（x）+2e^x]•[（x-2）e^x-m+1]＞$\frac{3}{4}$e^x，
即證（x²+$\sqrt{5}$x+2）•[（x-2）e^x-m+1]＞$\frac{3}{4}$，
即證（x-2）e^x-m+1＞$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{5}x+2}$，
由y=（x-2）e^x-m+1的導(dǎo)數(shù)為（x-1）e^x，
當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)遞增，當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)遞減．
即有x=1處取得最小值，且為1-m-e；
又$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{5}x+2}$≤$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{2-\frac{5}{4}}$=1，
當(dāng)m≤-e時(shí)，1-m-e≥1+e-e=1，
則（x-2）e^x-m+1＞$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{5}x+2}$成立，
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查韋達(dá)定理及求根公式，以及不等式的證明，注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的比較，屬于中檔題．