Question

2．若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意正整數(shù)n都有S_n=$\frac{4}{3}$（a_n-2），設b_n=log₂a_n
（1）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）設c_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{4（n+1）}{_{n}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=$\frac{4}{3}$（a_n-2）與S_n-1=$\frac{4}{3}$（a_n-1-2）作差，整理可知a_n=4a_n-1（n≥2），進而可知數(shù)列{b_n}是首項為3、公差為2的等差數(shù)列；
（2）通過（1）裂項可知c_n=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$），分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 （1）證明：∵S_n=$\frac{4}{3}$（a_n-2），
∴當n≥2時，S_n-1=$\frac{4}{3}$（a_n-1-2），
兩式相減得：a_n=$\frac{4}{3}$（a_n-a_n-1），
整理得：a_n=4a_n-1（n≥2），
又∵S₁=$\frac{4}{3}$（a₁-2），即a₁=8，
∴數(shù)列{a_n}是首項為8、公比為4的等比數(shù)列，
∴b_n=log₂a_n=b_n=log₂（8•4^n-1）=log₂2²ⁿ⁺¹=2n+1，
于是數(shù)列{b_n}是首項為3、公差為2的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知$\frac{4（n+1）}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{4（n+1）}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$，
從而c_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{4（n+1）}{_{n}_{n+1}}$=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$），
當n為偶數(shù)時，T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{9}$-…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$
=$\frac{2n}{3（2n+3）}$；
當n為奇數(shù)時，T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{9}$-…-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2n+3}$
=$\frac{2n+6}{3（2n+3）}$；
綜上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2n+6}{3（2n+3）}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{2n}{3（2n+3）}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分類討論的思想，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．