Question

已知f（x）=sin²x+asinx+a-

3

a

，a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若對任意x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)g（t）=(t+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

≤0 在[-1，1]上恒成立，故有

g(-1)=1- 3 a ≤0 g(1)=1+2a- 3 a ≤0

，由此求得a的范圍．
（Ⅱ）若a≥2，則-

a

2

≤-1，g（t）=(t+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

≤0 在[-1，1]上是增函數(shù)，再根據(jù)g（t）的最小值g（-1）≤0，求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）對任意x∈R，f（x）=sin²x+asinx+a-

3

a

=(sinx+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

≤0 恒成立，
則函數(shù)g（t）=(t+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

≤0 在[-1，1]上恒成立，故有

g(-1)=1- 3 a ≤0 g(1)=1+2a- 3 a ≤0

，
即

0＜a≤3 2a2+a-3≤0

，求得0＜a≤1．
（Ⅱ）若a≥2，則-

a

2

≤-1，且存在x∈R，使得f（x）≤0，則g（t）=(t+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

≤0 在[-1，1]上是增函數(shù)，
故有g(shù)（-1）=1-

3

a

≤0，求得0＜a≤3，綜合可得，2≤a≤3．

點(diǎn)評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．