Question

9．過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)的切線相交于P，則S_△PABmin=（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)，兩邊對x求導(dǎo)，可得切線的斜率，討論AB斜率不存在，求得切線斜率，即可判斷量切線垂直；再設(shè)AB：y=k（x-1），（k≠0），聯(lián)立y²=4x，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合切線公式，由直線垂直的條件也可判斷AP⊥BP，由此結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)可知P在拋物線的準(zhǔn)線上，設(shè)出直線AB與拋物線對稱軸的夾角，然后把三角形PAB的面積用含有夾角的代數(shù)式表示，利用三角函數(shù)求得最值．

解答 解：拋物線y²=4x焦點(diǎn)為（1，0），
設(shè)拋物線y²=4x的點(diǎn)（m，n），
由2yy′=4，即有y′=$\frac{2}{y}$，
即切線的方程為y-n=$\frac{2}{n}$（x-m），
由于n²=4m，即有ny=2（m+x）．
若直線l：x=1，則交點(diǎn)A（1，2），B（1．-2），
則過A、B的切線方程分別為y-2=x-1和y+2=-（x-1），
即有PA⊥PB，則△ABP為直角三角形；
若直線AB的斜率為k，即有AB：y=k（x-1），（k≠0），
聯(lián)立y²=4x，消去x，可得$\frac{k}{4}$y²-y-k=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-4．
則有切線的斜率為$\frac{2}{{y}_{1}}，\frac{2}{{y}_{2}}$，
且$\frac{2}{{y}_{1}}•\frac{2}{{y}_{2}}=\frac{4}{{y}_{1}{y}_{2}}=-1$，
即有PA⊥PB，則△ABP為直角三角形．
∴由拋物線的幾何性質(zhì)可得，過A，B兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上，
設(shè)直線AB與x軸的夾角為θ，由拋物線的性質(zhì)可得：|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$．
且切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線平行于坐標(biāo)軸，設(shè)AB中點(diǎn)為M，
則|PM|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{p}{si{n}^{2}θ}$．
P到AB的距離為|PM|sinθ=$\frac{p}{sinθ}$．
∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}$|AB|$•\frac{p}{sinθ}$=$\frac{{p}^{2}}{si{n}^{3}θ}$．
當(dāng)sinθ=1時(shí)，△ABQ的面積有最小值，最小值為p²=4．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，注意運(yùn)用兩直線垂直的條件是解題的關(guān)鍵，是中檔題．