Question

11．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜α＜π），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程：
（2）設(shè)直線1與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出；
（2）分直線l有無(wú)斜率兩種情況計(jì)算，將|AB|表示為斜率k的函數(shù)，求出最小值．

解答 解：（1）∵ρsin²θ=4cosθ．
∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x．
（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，
直線l與曲線C交于A（1，2），B（1，-2）．
此時(shí)|AB|=4．
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的普通方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$＞4．
∴|AB|取得最小值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題．