Question

3．在區(qū)間[0，1]上給定曲線y=x²，如圖所示，0＜t＜1，S₁，S₂是t的函數(shù)，則函數(shù)g（t）=S₁+S₂的單調(diào)遞增區(qū)間為（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，2]
• C． [0，1]
• D． （1，2]

Answer 1

分析 首先利用定積分分別求出S₁，S₂，得到函數(shù)g（t），然后分析其單調(diào)性．

解答 解：由題意S₁=${∫}_{0}^{t}$（t²-x²）dx=（t²x-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{0}^{t}$=$\frac{2}{3}$t³，
S₂=${∫}_{t}^{1}$（x²-t²）=（-t²x+$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{t}^{1}$=$\frac{1}{3}$-t²+$\frac{2}{3}$t³，
所以g（t）=S₁+S₂=$\frac{4}{3}$t³-t²+$\frac{1}{3}$，
g'（t）=4t²-2t=2t（2t-1），
令g'（t）＞0解得t＞$\frac{1}{2}$或t＜0，
又0＜t＜1，
所以函數(shù)g（t）=S₁+S₂的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1）；
故選：A

點評 本題考查了利用定積分求曲邊梯形的面積以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；屬于經(jīng)�？疾榈念}型．