Question

11．已知f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2016|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2016|（x∈R），且f（a²-3a+2）=f（a-1），則滿足條件的所有整數(shù)a的和是6．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，我們可以求出函數(shù)為一個(gè)偶函數(shù)，則f（a²-3a+2）=f（a-1），可以轉(zhuǎn)化為|a²-3a+2|=|a-1|，又由絕對(duì)值的幾何意義，我們可得f（0）=f（1）=f（-1），可知a=2也滿足要求，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2011|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2011|
=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|=f（x）
即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
若f（a²-3a+2）=f（a-1），
則a²-3a+2=a-1，或a²-3a+2=-（a-1）
即a²-4a+3=0，或a²-2a+1=0
解得a=1，或a=3
又∵f（0）=f（1）=f（-1）
∴當(dāng)a=2時(shí)，也滿足要求
故滿足條件的所有整數(shù)a的和是1+2+3=6
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，及絕對(duì)值的幾何意義，解答本題的技巧性較強(qiáng)，難度也比較大，其中分析出函數(shù)的奇偶性，從面將f（a²-3a+2）=f（a-1），轉(zhuǎn)化為一個(gè)絕對(duì)值方程是解答本題的關(guān)鍵，但易忽略f（0）=f（1）=f（-1），而錯(cuò)解為4．