Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），以點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{3{+sin}^{2}θ}$．
（1）求圓錐曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；
（2）若直線l交圓錐曲線C于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程．圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{3{+sin}^{2}θ}$，化為3ρ²+（ρsinθ）²=12，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入橢圓的直角坐標(biāo)方程可得：13t²-12$\sqrt{3}$t-36=0，利用|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為：x-$\sqrt{3}$y+1=0．
圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{3{+sin}^{2}θ}$，化為3ρ²+（ρsinθ）²=12，
可得直角坐標(biāo)方程：3x²+4y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入橢圓的直角坐標(biāo)方程可得：13t²-12$\sqrt{3}$t-36=0，
∴t₁+t₂=$\frac{12\sqrt{3}}{13}$，t₁t₂=$-\frac{36}{13}$．
由于直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)（-1，0）．
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{12\sqrt{3}}{13}）^{2}-4×（-\frac{36}{13}）}$=$\frac{48}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．