Question

14．設a、b∈R，且a≠1，若奇函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+x}$在區(qū)間（-b，b）上有定義．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范圍；
（3）求解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)便可得出$lg\frac{1-ax}{1-x}=-lg\frac{1+ax}{1+x}$，這樣便可得出1-a²x²=1-x²，從而有a²=1，再根據(jù)a≠1即可得出a的值；
（2）求出a便得出$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$，從而可求出該函數(shù)的定義域，進而求出b的取值范圍；
（3）由f（x）＞0即可得出$lg\frac{1-x}{1+x}＞lg1$，這樣便可建立關于x的不等式，解不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）f（x）為奇函數(shù)；
∴f（-x）=-f（x），即$lg\frac{1-ax}{1-x}=-lg\frac{1+ax}{1+x}$；?
即$\frac{1-ax}{1-x}=\frac{1+x}{1+ax}$，整理得：1-a²x²=1-x²；
∴a=±1；
又a≠1，故a=-1；
（2）f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$的定義域是（-1，1）；
∴0＜b≤1；
∴b的取值范圍為（0，1]；
（3）f（x）=$lg\frac{1-x}{1+x}＞0=lg1$；
∴$\frac{1-x}{1+x}＞1$；
解得-1＜x＜0；
∴原不等式的解集為（-1，0）．

點評 考查奇函數(shù)的定義，多項式相等的充要條件，對數(shù)的真數(shù)滿足大于0，以及對數(shù)函數(shù)的單調性，分式不等式的解法．