Question

10．某城市有甲、乙、丙三個旅游景點，一位游客游覽這三個景點的概率分別是0.4、0.5、0.6，且游客是否游覽哪個景點互不影響，用ξ表示該游客離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值．
（1）求ξ的分布列及期望；
（2）記“f（x）=2ξx+4在[-3，-1]上存在x，使f（x）=0”為事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點”為事件A₁，A₂，A₃由已知A₁，A₂，A₃相互獨立，P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3，相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為3，2，1，0，ξ的可能取值為1，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）由f（x）=2ξx+4=0，得x=-$\frac{4}{2ξ}$=-$\frac{2}{ξ}$∈[-3，-1]，由ξ的可能取值為1，3，解得ξ=1，由此能求出事件A的概率P（A）=P（ξ=1）．

解答 解：（1）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點”為事件A₁，A₂，A₃
由已知A₁，A₂，A₃相互獨立，
P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6
客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3
相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為3，2，1，0，
所以ξ的可能取值為1，3
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（$\overline{{A}_{1}}•\overline{{A}_{2}}•\overline{{A}_{3}}$）
=P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P（$\overline{{A}_{1}}$）P（$\overline{{A}_{2}}$）P（$\overline{{A}_{3}}$）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（ξ=1）=1-0.24=0.76
所以ξ的分布列為 

ξ	1	3
P	0.76	0.24

Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
（2）記“f（x）=2ξx+4在[-3，-1]上存在x，使f（x）=0”為事件A，
∴f（x）=2ξx+4=0，得x=-$\frac{4}{2ξ}$=-$\frac{2}{ξ}$∈[-3，-1]，
由ξ的可能取值為1，3，解得ξ=1，
∴事件A的概率P（A）=P（ξ=1）=0.76．

點評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．