Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=2a_n+1，設(shè)b_n=log₂a_n，則數(shù)列{b_n}的前n項之和是（　�。�

• A． $\frac{n（n-1）}{2}$
• B． $\frac{n（1-n）}{2}$
• C． n-1
• D． $\frac{n（n+1）}{2}$

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，求其通項公式后代入b_n=log₂a_n，再由等差數(shù)列的前n項和得答案．

解答 解：由a_n=2a_n+1，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$，
又a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}（\frac{1}{2}）^{n-1}=1-n$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項之和是S_n=（1-1）+（1-2）+（1-3）+…+（1-n）
=n-（1+2+3+…+n）=n-$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n（1-n）}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項和的求法，是中檔題．