Question

1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，則tan（A-B）的最大值為（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用正弦定理，將已知等式化簡(jiǎn)整理得sinAcosB=4sinBcosA，兩邊同除以cosAcosB，得到tanA=4tanB．利用兩角差的正切公式，得tan（A-B）=$\frac{3}{\frac{1}{tanB}+4tanB}$，最后利用基本不等式求最值，可得當(dāng)且僅當(dāng)tanB=$\frac{1}{2}$時(shí)，tan（A-B）的最大值為$\frac{3}{4}$．

解答 解：∵acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，
∴結(jié)合正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC，
∵C=π-（A+B），得sinC=sin（A+B），
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$（sinAcosB+cosAsinB），
整理，得sinAcosB=4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA=4tanB，
由此可得tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{3tanB}{1+4ta{n}^{2}B}$=$\frac{3}{\frac{1}{tanB}+4tanB}$，
∵A、B是三角形內(nèi)角，且tanA與tanB同號(hào)，
∴A、B都是銳角，即tanA＞0，tanB＞0，
∵$\frac{1}{tanB}$+4tanB≥2 $\sqrt{\frac{1}{tanB}•4tanB}$=4，
∴tan（A-B）=$\frac{3}{\frac{1}{tanB}+4tanB}$≤$\frac{3}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{tanB}$=4tanB，即tanB=$\frac{1}{2}$時(shí)，tan（A-B）的最大值為$\frac{3}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題已知三角形邊角的一個(gè)關(guān)系式，求tan（A-B）的最大值，著重考查了正弦定理、兩角差的正切公式和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．