Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，.

（1）在線段PA上找一點(diǎn)E，使得平面PCD，并證明；

（2）在（1）的條件下，若，求點(diǎn)E到平面PCD的距離.

Answer 1

【答案】（1）E是線段PA的中點(diǎn)，證明詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)E是線段PA的中點(diǎn),利用中位線可得,再由平行四邊形可得,則平面平面PCD,進(jìn)而求證即可；

（2）由題可得平面ABCD,利用等體積法可得,即可求得點(diǎn)O到平面PCD的距離為d,進(jìn)而由（1）的平行關(guān)系求解即可

（1）當(dāng)E是線段PA的中點(diǎn),

證明:記O為AD的中點(diǎn),連接BE,OE,OB,

∵O是AD的中點(diǎn),∴,

又平面PCD,平面PCD,

∴平面PCD,

又∵底面ABCD是直角梯形,,

∴,

又平面PCD,平面PCD,

∴平面PCD,

∵平面OBE,平面OBE,,

∴平面平面PCD,

又平面OBE,

∴平面PCD

（2）解:∵連接PO,CO,

平面平面ABCD,,

∴,∴平面ABCD,

,,,,

,,

設(shè)點(diǎn)O到平面PCD的距離為d,由等體積法可得

即,解得

由（1）知點(diǎn)O到平面PCD的距離等于點(diǎn)E到平面PCD的距離,

故點(diǎn)E到平面PCD的距離為