Question

3．已知函數(shù)y=lnx-mx（m∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）過點(diǎn)P（1，-1），求曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義求解斜率，由點(diǎn)斜式得出方程即可；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)m進(jìn)行分類討論，分別求出閉區(qū)間上的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P（1，-1）在曲線y=f（x）上，所以-m=-1，解得m=1．
因?yàn)閒'（x）=$\frac{1}{x}$-1=0，所以切線的斜率為0，所以切線方程為y=-1．
（2）因?yàn)閒'（x）=$\frac{1}{x}$-m=$\frac{1-mx}{x}$，
①當(dāng)m≤0時(shí)，在區(qū)間[1，e]上，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，則最大值為f（e）=1-me；
②當(dāng)$\frac{1}{m}$≥e，即0＜m≤$\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，則最大值為f（e）=1-me；
③當(dāng)1＜$\frac{1}{m}$＜e，即$\frac{1}{e}$＜m＜1，
函數(shù)f（x）在（1，$\frac{1}{m}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{m}$，e）上單調(diào)遞減，則最大值f（$\frac{1}{m}$）=-lnm-1；
④當(dāng)0＜$\frac{1}{m}$＜e，即m≥1時(shí)，f'（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，則最大值f（1）=-m．
綜上，當(dāng)m≤$\frac{1}{e}$時(shí)，最大值為1=me；當(dāng)$\frac{1}{e}$＜m＜1時(shí)，則最大值-lnm-1；當(dāng)m≥1時(shí)，最大值-m．

點(diǎn)評 考查了導(dǎo)函數(shù)的意義和利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值，難點(diǎn)是對參數(shù)的分類討論．