Question

3．給定區(qū)域D：$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+k≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，（k為非負(fù)實數(shù)），若對區(qū)域D內(nèi)任意一點N（x，y）恒有5x+2y-2k²+1＞0成立，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，1）
• B． [0，1）
• C． [0，$\frac{1}{2}$）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將不等式5x+2y-2k²+1＞0成立轉(zhuǎn)化為5x+2y＞2k²-1成立，結(jié)合數(shù)形結(jié)合求出k的最大值．

解答 解：若5x+2y-2k²+1＞0恒成立，
即5x+2y＞2k²-1成立，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
設(shè)z=5x+2y得y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
平移直線y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{z}{2}$經(jīng)過點A時，
直線y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{z}{2}$的截距最小，此時z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+k=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{k}{3}}\\{y=\frac{k}{3}}\end{array}\right.$，即A（$-\frac{k}{3}$，$\frac{k}{3}$），
代入目標(biāo)函數(shù)z=5x+2y得z=5×（$-\frac{k}{3}$）+2×$\frac{k}{3}$=-k，
則-k＞2k²-1，即2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜$\frac{1}{2}$，
∵k≥0，
∴0≤k＜$\frac{1}{2}$，
故選：C

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．