Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，單位長(zhǎng)度為半徑的圓上有兩點(diǎn)A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），試用A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示∠AOB的余弦值，并由此求cos$\frac{π}{12}$的值．

Answer 1

分析 利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角為∠AOB，
∴$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ），|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$cos∠AOB，
即cos∠AOB=cosαcosβ+sinαsinβ，
則cos$\frac{π}{12}$=cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+sin$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．