Question

11．設(shè)D是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤10}\\{2x+y≥3}\\{x≤4}\\{y≥1}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，P（x，y）是D中任一點(diǎn)，則|x+y-10|的最大值是8．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)z=x+y-10，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合先求出z的取值范圍，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．
由z=x+y-10，得y=-x+z+10，平移直線y=-x+z+10，
由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z+10經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線y=-x+z+10的截距最小，此時(shí)z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y-10得z=1+1-10=-8．
當(dāng)直線y=-x+z+10經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=-x+z+10的截距最大，z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{x+2y=10}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（4，3），
此時(shí)z=4+3-10=-3．
即-8≤z≤-3，
則3≤|z|≤8，
故|x+y-10|的最大值是8，
故答案為：8

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義先求出z=x+y-10的取值范圍，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．