Question

18．某中學研究性學習小組，為了研究高中理科學生的物理成績是否與數(shù)學成績有關系，在本校高三年級隨機調查了50名理科學生，調查結果表明：在數(shù)學成績優(yōu)秀的25人中16人物理成績優(yōu)秀，另外9人物理成績一般；在數(shù)學成績一般的25人中有6人物理成績優(yōu)秀，另外19人物理成績一般．
（Ⅰ）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表，并運用獨立性檢驗思想，指出有多大把握認為高中理科學生的物理成績與數(shù)學成績有關系；

	數(shù)學成績優(yōu)秀	數(shù)學成績一般	總計
物理成績優(yōu)秀
物理成績一般
總計

（Ⅱ）以調查結果的頻率作為概率，從該校數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中任取100人，求100人中物理成績優(yōu)秀的人數(shù)的數(shù)學期望和標準差．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，得出2×2列聯(lián)表，求出K²，與臨界值比較，即可得出結論；
（Ⅱ）由題意可得，數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中物理成績優(yōu)秀的概率為$\frac{16}{25}$，隨機變量X符合二項分布，即可求出求100人中物理成績優(yōu)秀的人數(shù)的數(shù)學期望和標準差．

解答 解：（Ⅰ）2×2列聯(lián)表

	數(shù)學成績優(yōu)秀	數(shù)學成績一般	總計
物理成績優(yōu)秀	16	6	22
物理成績一般	9	19	28
總計	25	25	50

所以K²=$\frac{50×（16×19-6×9）^{2}}{25×25×22×28}$≈8.117＞7.879，
所以有99.5%把握認為高中理科學生的物理成績與數(shù)學成績有關系；
（Ⅱ）由題意可得，數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中物理成績優(yōu)秀的概率為$\frac{16}{25}$，隨機變量X符合二項分布，
所以數(shù)學期望E（X）=100×$\frac{16}{25}$=64，標準差$\sqrt{D（X）}$=$\sqrt{100×\frac{16}{25}×\frac{9}{25}}$=$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查獨立性檢驗的應用和二項分布的數(shù)學期望和標準差，本題解題的關鍵是正確理解觀測值對應的概率的意義．