Question

15．已知f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|．
（1）設a=2，解關于x的不等式：f（x）+g（x）≤7；
（2）若當g（x）≤5時，恒有f（x）≤6，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用零點分區(qū)間的方法，討論當x≥1時，當$\frac{1}{2}$＜x＜1時，當x≤$\frac{1}{2}$時，去掉絕對值，解不等式，再求并集即可；
（2）求出g（x）≤5的解集，再由絕對值不等式的解法再求f（x）≤6的解集，由恒成立思想即可得到a-3≤-2，解出即可．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）+g（x）≤7即為
|2x-2|+|2x-1|≤5，
當x≥1時，不等式即為2x-2+2x-1≤5即1≤x≤2；
當$\frac{1}{2}$＜x＜1時，不等式即為2-2x+2x-1≤5，解得1≤5，即有$\frac{1}{2}$＜x＜1；
當x≤$\frac{1}{2}$時，不等式即為2-2x+1-2x≤5，解得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，
綜上可得，不等式的解集為[-$\frac{1}{2}$，2]；
（2）g（x）≤5即|2x-1|≤5，解得-2≤x≤3，
f（x）≤6等價為a-6≤2x-a≤6-a，
即有a-3≤x≤3，
由恒成立思想可得，a-3≤-2，
解得a≤1．
則a的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，主要考查分類討論的思想方法以及恒成立思想，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．