Question

6．已知橢圓的左焦點為F₁，右焦點為F₂．若橢圓上存在一點P，滿足線段PF₂相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點為線段PF₂的中點，則該橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 先設切點為M，連接OM，PF₁，根據(jù)已知條件即可得到|PF₁|=2b，并且知道PF₁⊥PF₂，這樣即可可求得|PF₂|=$2\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$，這樣利用橢圓的定義便得到$2b+2\sqrt{{c}^{2}-^{2}}=2a$，化簡即可得到$b=\frac{2}{3}a$，根據(jù)離心率的計算公式即可求得離心率e．

解答 解：如圖，
設以橢圓的短軸為直徑的圓與線段PF₂相切于M點，連接OM，PF₂；
∵M，O分別是PF₂，F(xiàn)₁F₂的中點；
∴MO∥PF₁，且|PF₁|=2|MO|=2b；
OM⊥PF₂；
∴PF₁⊥PF₂，|F₁F₂|=2c；
∴$|P{F}_{2}|=\sqrt{4{c}^{2}-4^{2}}$；
根據(jù)橢圓的定義，|PF₁|+|PF₂|=2a；
∴$2b+\sqrt{4{c}^{2}-4^{2}}=2a$；
∴$a-b=\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$；
兩邊平方得：a²-2ab+b²=c²-b²，c²=a²-b²代入并化簡得：
2a=3b，∴$b=\frac{2}{3}a$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-\frac{4}{9}{a}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$；
即橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故選A．

點評 考查中位線的性質(zhì)，圓心和切點的連線和切線的關系，以及橢圓的定義，c²=a²-b²，橢圓離心率的計算公式．