Question

14．若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x²-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）已知0＜a₁＜a₂＜a₃，求使得2比2-a_ix（i=1，2，3）遠(yuǎn)離1都成立的x取值范圍；
（3）設(shè)0＜x＜1，且a≠1，則log_a（1-x）比log_a（1+x）那個(gè)遠(yuǎn)離零？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用新定義和絕對值不等式及一元二次不等式即可得出．
（2）根據(jù)新定義得到|2-1|＞|2-a_ix-1|恒成立，解不等式即可．
（3）利用作差法判斷|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|，即可．

解答 解：（1）由題意可得|x²-1-0|＞|1-0|，化為|x²-1|＞1，化為x²-1＞1或x²-1＜-1．
由x²-1＞1，化為x²＞2，解得$x＜-\sqrt{2}$或$x＞\sqrt{2}$；
由x²-1＜-1，化為x²＜0，其解集為∅．
故x的取值范圍是$（-∞，-\sqrt{2}）∪（\sqrt{2}，+∞）$．
（2）|2-1|＞|2-a_ix-1|恒成立，
即1＞|1-a_ix|，即|a_ix-1|＜1，得-1＜a_ix-1＜1，
即0＜a_ix＜2，則0＜x＜$\frac{2}{{a}_{i}}$，
∵0＜a₁＜a₂＜a₃，∴0＜$\frac{2}{{a}_{3}}$＜$\frac{2}{{a}_{2}}$＜$\frac{2}{{a}_{1}}$，
∴0＜x＜$\frac{2}{{a}_{i}}$的解為0＜x＜$\frac{2}{{a}_{3}}$．
（3）若0＜x＜1時(shí)，1-x＜1＜1+x，
若a＞1，則|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=-log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1-x）+log_a（1+x）]=-log_a（1-x²），
∵0＜x＜1，∴0＜1-x²＜1，log_a（1-x²）＜0，則-log_a（1-x²）＞0，
此時(shí)，|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|，
若0＜a＜1，則|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=log_a（1-x）+log_a（1+x）=log_a（1-x²），
∵0＜x＜1，∴0＜1-x²＜1，log_a（1-x²）＞0，
此時(shí)，|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|，
綜上log_a（1-x）比log_a（1+x）遠(yuǎn)離零．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)新定義，利用作差法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．