Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x²-3x）的定義域?yàn)榧�合A，函數(shù)$g（x）=\sqrt{-{x^2}+4ax-3{a^2}}$的定義域?yàn)榧�合B（其中a∈R，且a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求集合B；
（2）若A∩B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)$g（x）=\sqrt{-{x^2}+4ax-3{a^2}}$=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，令-x²+4x-3≥0，解出其定義域?yàn)榧�合B=[1，3]．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由-x²+4ax-3a²≥0，化為x²-4ax+3a²≤0，解得B=[a，3a]．函數(shù)f（x）=lg（x²-3x），由x²-3x＞0，解得定義域?yàn)榧�合A=（-∞，0）∪（3，+∞），利用A∩B≠∅，即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)$g（x）=\sqrt{-{x^2}+4ax-3{a^2}}$=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，令-x²+4x-3≥0，化為x²-4x+3≤0，解得1≤x≤3，
其定義域?yàn)榧�合B=[1，3]．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由-x²+4ax-3a²≥0，化為x²-4ax+3a²≤0，解得a≤x≤3a．
∴B=[a，3a]．
函數(shù)f（x）=lg（x²-3x），由x²-3x＞0，解得x＜0，或x＞3，可得定義域?yàn)榧�合A=（-∞，0）∪（3，+∞），
∵A∩B≠∅，所以3a＞3，解得a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域、不等式的解法、集合的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．