Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²-3x+m+1nx（m∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間與減區(qū)間；
（2）填表（不要求過(guò)程，只填結(jié)果即可）

m的范圍
方程f（x）=0的解得個(gè)數(shù)	1	2	3

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）由f（x）=0，得：m=-x²+3x-lnx，令g（x）=-x²+3x-lnx，求出g（x）的極值，從而求出m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）遞減；
（2）令f（x）=0，得：m=-x²+3x-lnx，
令g（x）=-x²+3x-lnx，g′（x）=-2x+3-$\frac{1}{x}$=$\frac{（-2x+1）（x-1）}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{2}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（x）_極小值=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$+ln2，g（x）_極大值=g（1）=2，
∴方程f（x）=0有1個(gè)解時(shí)，m＞2或m＜$\frac{5}{4}$+ln2，
方程f（x）=0有2個(gè)解時(shí)，m=2或m=$\frac{5}{4}$+ln2，
方程f（x）=0有3個(gè)解時(shí)，$\frac{5}{4}$+ln2＜m＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．