Question

8．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}均為等差數(shù)列，且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若$\sqrt{_{n}}$是$\frac{1}{{a}_{n}}$與$\frac{1}{{a}_{n+1}}$的等比中項，記T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，證明T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）設數(shù)列{a_n}的公差為d，求得通項，由{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列，即有2$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，得到d的方程，可得d=2，進而得到所求通項；
（2）運用等比數(shù)列的性質(zhì)，求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由裂項相消求和可得{b_n}的前n項和，由不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 （1）解：設數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a_n=1+（n-1）d，（d＞0），
由{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列，
即有2$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，
即為2$\sqrt{2+d}$=1+$\sqrt{3+3d}$，
解得d=2，
則a_n=2n-1；
（2）證明：$\sqrt{_{n}}$是$\frac{1}{{a}_{n}}$與$\frac{1}{{a}_{n+1}}$的等比中項，
即有b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$．
即有T_n＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，等比數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．