Question

6．已知平行四邊形ABCD從平面AC外一點(diǎn)O引向量．$\overrightarrow{OE}$=k$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=k$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OG}$=k$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OH}$=k$\overrightarrow{OD}$．
（1）求證：四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共面；
（2）平面AC∥平面EG．

Answer 1

分析 （1）可畫(huà)出圖形，根據(jù)$\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}$便可得到$\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OB}$，從而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF=HG，這便可判斷四邊形EFGH為平行四邊形，從而得出四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共面；
（2）由上面知EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，從而得出EF∥平面AC，F(xiàn)G∥平面AC，這樣根據(jù)面面平行的判定定理即可得出平面AC∥平面EG．

解答 解：（1）證明：如圖，
∵$\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}$；
∴$\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OB}=|k|$；
EF∥AB，且EF=|k|AB；
同理HG∥DC，且HG=|k|DC，AB=DC；
∴EF∥HG，且EF=HG；
∴四邊形EFGH為平行四邊形；
∴四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共面；
（2）由上面EF∥AB，AB?平面AC，EF?平面AC；
∴EF∥平面AC，同理FG∥BC，F(xiàn)G∥平面AC；
EF∩FG=F；
∴平面AC∥平面EG．

點(diǎn)評(píng) 考查共線向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義，平行線分線段成比例，以及平行四邊形的概念及判斷方法，線面平行和面面平行的判定定理．