Question

17．過點(diǎn)P（6，12）且被圓x²+y²=100截得的弦長為16的直線方程為3x-4y+30=0或x+6=0．

Answer 1

分析 算出圓心為O（0，0）、半徑r=10，根據(jù)垂徑定理算出直線到圓心的距離等于6．當(dāng)直線斜率存在時設(shè)直線方程為y-12=k（x-6），由點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的等式，解出k，可得此時直線的方程；當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為x+6=0，到圓心的距離也等于6，符合題意．由此即可得出所求的直線方程．

解答 解：圓x²+y²=100的圓心為O（0，0），半徑r=10．設(shè)圓心到直線的距離為d，
①當(dāng)過點(diǎn)P（6，12）的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y-12=k（x-6），即kx-y-6k+12=0，
∵直線圓x²+y²=100截得弦長為16，
∴根據(jù)垂徑定理，得d=6．
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得$\frac{|-6k+12|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=6，解之得k=$\frac{3}{4}$，
此時直線的方程為3x-4y+30=0；
②當(dāng)過點(diǎn)P（6，12）的直線斜率不存在時，直線方程為x=-6．
由圓心到直線的距離d=6，可得直線被圓截得的弦長也等于16，符合題意．
綜上所述，可得所求的直線方程為3x-4y+30=0或x+6=0．
故答案為：3x-4y+30=0或x+6=0．

點(diǎn)評 本題給出經(jīng)過定點(diǎn)的直線被圓截得的弦長，求直線的方程．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．