Question

10．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f″是f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．有同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)為條件，若給定函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x-\frac{5}{12}$，則g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=1008．

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）對稱，即f（x）+f（1-x）=1，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=x²-x+2，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)g（x）關(guān)于點（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）對稱，
∴g（x）+g（1-x）=1，
故設(shè)g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=m，
則g（$\frac{2016}{2017}$）+g（$\frac{2015}{2017}$）+…g（$\frac{1}{2017}$）=m，
兩式相加得1×2016=2m，
則m=1008，
故答案為：1008

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．