Question

20．已知曲線C₁：y=e^x與曲線C₂：y=（x+a）²．若兩個(gè)曲線在交點(diǎn)處有相同的切線，則實(shí)數(shù)a的值為2-ln4．

Answer 1

分析 分別求出曲線C₁，曲線C₂所對(duì)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)兩曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），運(yùn)用切線的斜率相等和切點(diǎn)在兩曲線上，解方程，即可得到a的值．

解答 解：y=e^x的導(dǎo)數(shù)為y'=e^x，
y=（x+a）²的導(dǎo)數(shù)為y'=2（x+a），
設(shè)兩曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
依據(jù)題意可得$\left\{{\begin{array}{l}{{e^{x_0}}={{（{x_0}+a）}^2}}\\{{e^{x_0}}=2（{x_0}+a）}\end{array}}\right.$，
消${e^{x_0}}$可得${（{x_0}+a）^2}=2（{x_0}+a）≠0$，
所以x₀+a=2，
所以${e^{x_0}}=4$，即x₀=ln4，
所以a=2-ln4．
故答案為：a=2-ln4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用切點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．