Question

7．在各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{a_n}中．a(chǎn)₁，a₂是關(guān)于x的方程x²-7a₄x+18a₃=0的兩個(gè)實(shí)根．
（1）試判斷-22是否在數(shù)列{a_n}中；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}=7{a}_{4}}\\{{a}_{1}{a}_{2}=18{a}_{3}}\end{array}\right.$，設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），化為關(guān)于a₁和d的方程組求得首項(xiàng)和公差，求得通項(xiàng)公式，即可判斷-22不是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)；
（2）寫出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用二次函數(shù)求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的最大值．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁，a₂是關(guān)于x的方程x²-7a₄x+18a₃=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}=7{a}_{4}}\\{{a}_{1}{a}_{2}=18{a}_{3}}\end{array}\right.$，設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=7（{a}_{1}+3d）}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+d）=18（{a}_{1}+2d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=12}\\{d=-3}\end{array}\right.$．
∴a_n=12-3（n-1）=15-3n，
由15-3n=-22，得n=$\frac{37}{3}$，∴-22不是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)；
（2）${S}_{n}=12n+\frac{n（n-1）×（-3）}{2}$=$-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{27n}{2}$，
對(duì)稱軸方程為n=$\frac{27}{6}$，
∵n∈N^*，∴當(dāng)n=4或5時(shí)，S_n取得最大值30．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)求得函數(shù)的最值，是中檔題．