Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•（{\overrightarrow b+\overrightarrow c}）$，其中向量$\overrightarrow a=（{sinx，-cosx}）$，$\overrightarrow b=（{sinx，-3cosx}）$，$\overrightarrow c=（{-cosx，sinx}）$，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}]$時(shí)，方程f（x）+m-2=0有且僅有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）當(dāng)$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}]$時(shí)，$（2x+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$．可得f（x）在$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}]$時(shí)單調(diào)遞增，即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•（{\overrightarrow b+\overrightarrow c}）$=sinx（sinx-cosx）-cosx（sinx-3cosx）
=sin²x-2sinxcosx+3cos²x
=-sin2x+cos2x+2
=-$\sqrt{2}$$sin（2x+\frac{π}{4}）$+2，
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$（k∈Z）．
（2）當(dāng)$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}]$時(shí)，$（2x+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$．
∴f（x）在$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}]$時(shí)單調(diào)遞增，
∵方程f（x）+m-2=0有且僅有一個(gè)根，
∴（2-m）∈$[2-\sqrt{2}，3]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．