Question

8．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow$=（1，3），向量$\overrightarrow{a}\\;\\;與\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為120°．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$與向量-$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{2}$$\overrightarrow$的夾角的大小．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$ 的值．
（2）向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$與向量-$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{2}$$\overrightarrow$的夾角為θ，則由cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow|}$，求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow$=（1，3），向量$\overrightarrow{a}\\;\\;與\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為120°，∴|$\overrightarrow$|=2，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos120°=-1，
故|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{1+2+10}$=$\sqrt{13}$．
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$與向量-$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{2}$$\overrightarrow$的夾角為θ，則由cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow|}$=$\frac{{-\overrightarrow{a}}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\frac{1}{2}\overrightarrow}^{2}}{\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}•\sqrt{\frac{{\overrightarrow}^{2}}{4}{+\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，即向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$與向量-$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{2}$$\overrightarrow$的夾角的大小為$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查用兩個向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．